Diese Cacheserie aus insgesamt sechs Mysteries und einem Multi beschäftigt sich mit einer Variante des Kartenspiels SET.
Die Spielregeln zu unserer Variante FarmTiere sind in "FarmTiere #1: Anleitung" (GC8V8KM) erklärt.
Hier geht es nun um die Mathematik hinter dem Spiel. Denn damit wird auch die Verbindung zwischen beiden Kartenspielen deutlich.
Wer sich nicht für die Mathematik dahinter interessiert, kann dieses Mystery auch als Bonus zu den anderen fünf Mysteries lösen. Die Werte A - E befinden sich in den Logbüchern von FarmTiere #1 - #5.
Betrachten wir zunächst das Original SET. Auf jeder Karte sind Symbole mit m = 4 Merkmalen (Anzahl, Farbe, Form und Füllung) in jeweils k = 3 Ausprägungen (z. B. rot, blau, grün) abgebildet. Somit gibt es km = 34 = 81 verschieden Spielkarten. Nummerieren wir die Ausprägungen der Merkmale jeweils mit 0, 1 & 2, so können wir jede Spielkarte als 4-Tupel \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)\) darstellen.
| |
0 |
1 |
2 |
| Anzahl |
1 |
2 |
3 |
| Farbe |
rot |
blau |
grün |
| Form |
Rechteck |
Welle |
Oval |
| Füllung |
gefüllt |
schraffiert |
weiß |
Das folgende Set wird in dieser Notation als (2,1,0,1), (2,0,1,1) & (2,2,2,1) repräsentiert.
Nun können wir mit den Karten rechnen - und zwar im Vektorraum \(\mathbb{F}_3^4\). Vereinfacht gesagt, addieren wir jede Stelle (also jedes Merkmal) des 4-Tupels einzeln und das modulo 3, da es jeweils nur die drei Ausprägungen 0,1 & 2 des Merkmals gibt. Also 3 = 0, 4 = 1, 5 = 2, -1 = 2 und -2 = 1 in \(\mathbb{F}_3\).
Für das obige Beispiel bedeutet dies (2,1,0,1) + (2,0,1,1) + (2,2,2,1) = (0,0,0,0). Und das ist tatsächlich immer so bei einem Set. Denn ist ein Merkmal auf den drei Karten gleich ausgeprägt, so ist die Summe 0 + 0 + 0 = 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 0. Ist ein Merkmal auf allen drei Karten unterschiedlich ausgeprägt, so ist ebenfalls 0 + 1 + 2 = 0. Stellt man die Gleichung um, so kann man zu je zwei Spielkarten bzw. Tupeln \(\vec{x}, \vec{y}\) aus \(\mathbb{F}_3^4\) die dritte Karte als \(\vec{z} = -(\vec{x} + \vec{y})\) berechnen. Nun ist auch klar, warum diese Karte eindeutig bestimmt ist.
Frage 1: Bestimmt die eindeutige dritte Karte zu folgenden Kartenpaaren:
a) (1,2,1,0) & (1,1,0,0)
b) (2,0,2,0) & (1,1,2,1)
c) (0,1,0,1) & (2,0,2,1)
A = Quersumme der gesuchten drei Karten (nicht modulo 3 😉)
Die Set-Bedingung kann man auch wie folgt formulieren: Drei verschiedene Spielkarten \(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\) bilden genau dann ein Set, wenn \(\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}\) eine affine Gerade im \(\mathbb{F}_3^4\) ist. Eine affine Gerade im Vektorraum \(\mathbb{F}_3^4\) ist hierbei eine 3-elementige Menge \(\{\vec{u} - \vec{v}, \vec{u}, \vec{u} + \vec{v}\}\) mit Stützvektor \(\vec{u}\) und Richtungsvektor \(\vec{v}\). Zeichnet man die Spielkarten grafisch auf, bilden alle Geraden (Zeilen, Spalten und Diagonalen) Sets.
Frage 2: Wie viele Sets lassen sich aus diesen Karten bilden? B = Anzahl Sets
Welchselt man von affinen auf projektive Geraden, erhält man unsere Variante FarmTiere. Die Karten im Spiel mit n Tieren repräsentieren wir nun als n-Tupel aus \(\mathbb{F}_2^n\). Das i-te Tier ist entweder auf der Karte abgebildet ( → 1) oder nicht ( → 0). Entsprechend rechnen wir nun in \(\mathbb{F}_2\) (2 = 0, 3 = 1 und -1 = 1).
In der Variante für n = 5 Tiere bilden zum Beispiel folgende 3 Karten ein Set, die wir als (1,0,1,1,1), (0,0,1,0,1) & (1,0,0,1,0) repräsentieren:
Wieder gilt (1,0,1,1,1) + (0,0,1,0,1) + (1,0,0,1,0) = (0,0,0,0,0), denn in einem Set kommt jedes Tier entweder gar nicht ( → 0) oder genau zweimal ( → 2 = 0) vor. Analog zu vorher können wir wieder zu je zwei Spielkarten bzw. Tupeln \(\vec{x}, \vec{y}\) aus \(\mathbb{F}_2^n\) die dritte Karte als \(\vec{z} = -(\vec{x} + \vec{y})\) berechnen.
Frage 3: Findet die eindeutige dritte Karte zu folgenden Kartenpaaren:
a) (1,0,1,1,0) & (0,0,0,1,1)
b) (1,1,0,1,1) & (1,1,0,0,1)
c) (1,0,0,1,0) & (0,1,1,1,1)
C = Anzahl der Einsen
Grafisch dargestellt sieht dies für n = 3 so aus:
Frage 4: Wie viele Sets lassen sich hier bilden? Wie viele Sets gibt es insgesamt? D = Anzahl Sets für n = 6 Tiere
Damit lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass drei zufällig gewählte Karten ein Set bilden, und entsprechend die unter m Karten zu erwartende Anzahl Sets.
Schließlich interessiert uns noch, wie viele Sets in einem Spiel maximal erreicht werden können.
Frage 5: Bestimmt die maximal erreichbare Anzahl Sets für n = 3, 4, 5 und 6 Tiere. E = Summe der vier Anzahlen
Mit den Werten A - E könnt ihr die Finalkoordinaten nun wie folgt ausrechnen:
N 50° 40. 2×A×B E 007° 01. D + ½×C×E
Viel Spaß beim Rätseln, Suchen und Finden!
Ein paar Hinweise für den Outdoor-Teil:
- Die Runde ist ca. 4,5 km lang und kann zu Fuß oder mit dem Fahrrad gemacht werden. Bitte fahrt die Wege nicht mit dem Auto ab, sondern parkt an den angegebenen Koordinaten.
- Die (Haupt-)Wege sind kinderwagen- und rollstuhlgeeignet. Rollstuhlfahrer benötigen allerdings Hilfe zum Bergen der Caches. Der Abstecher zum Final von #6 ist nicht kinderwagen- und rollstuhlgeeignet. Hier gibt es aber eine Bank zum Warten in der Nähe.
- Bitte geht die Caches aus Rücksicht auf die Tiere nicht im Dunkeln an!
Die Caches dieser Serie:
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