Hintergrundinfos und Hilfen (optional)
Um dieses Rätsel lösen zu können, müsst ihr Grundschulmathematik beherrschen, insbesondere die Multiplikation ganzer Zahlen. Es ist also beispielsweise für Schülerinnen und Schüler ab der 5. Klasse geeignet. Wer mathematisch sehr fit ist und die Herausforderung sucht, kann gerne direkt zum Rätsel springen. 
Allen anderen von elf bis hundertelf möchte ich in zwei Abschnitten tolle Mathematik zeigen, mit deren Hilfe ihr das Rätsel lösen könnt.
Abschnitt 1: der kleine Gauß →
Im Jahre 1786, als der kleine Carl Friedrich Gauß neun Jahre alt war, gab der Lehrer den Knaben die Aufgabe alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Carl hatte nach wenigen Momenten bereits die richtige Lösung. Nicht, weil er ein Blitzrechner war, sondern weil er ein Muster erkannt hatte.
Wir überlegen uns das mal für die Summe der Zahlen von 1 bis 10. Diese Summe kann man so mit Kästchen darstellen:
Und jetzt zaubern wir mal:
Die Summe der Zahlen von 1 bis 10 oder bis zu irgendeiner anderen Zahl bilden eine Art Dreieck. Deswegen nennt man solche Summen auch Dreieckszahlen. Ein solches Dreieck kann man durchschneiden und zu einem Rechteck zusammenklappen. Und die Anzahl von Kästchen, die in einem Rechteck angeordnet sind, ist wirklich einfach auszurechnen, das habt ihr schon ganz oft gemacht. Also, was ergibt die Summe der Zahlen von 1 bis 10?
Ich schreibe es nochmal mit Zahlen hin:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
ist das Gleiche wie (die 10 wird auf die 1 gedreht, die 9 auf die 2, usw.)
1 + 10 + 2 + 9 + 3 + 8 + 4 + 7 + 5 + 6
und das ist
11 + 11 + 11 + 11 + 11
also insgesamt
5 · 11
Mit einer ungeraden Anzahl von Zahlen geht das übrigens auch, ihr müsst aber ein bischen anders schneiden und klappen. Überlegt mal selbst wie, fürs Rätsel ist das wichtig. Ich gebe euch als Beispiel ein Bild für die Dreieckszahl 28 und eins für die Rechteckzahl 28.
Wieso ist 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 das Gleiche wie 4 · 7? Wie ist das bei anderen Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Summanden?
Anmerkung für Interessierte ab Klasse 7: Man kann natürlich auch eine Dreieckszahl mit einer geraden Anzahl von Summanden auf halber Höhe durchschneiden und zu einer Rechteckzahl zusammenklappen (Flächeninhaltsformel). Dann macht ihr in beiden Fällen das Gleiche, das ist also tendenziell schöner.
Bonusfrage Mathe (fürs Rätsel egal): Was ist denn jetzt die Summe der Zahlen von 1 bis 100?
Bonusfrage Geschichte (fürs Rätsel egal): Welche Aufgabe gab der Lehrer wohl den Mädchen?
Abschnitt 2: Bestandteile von Produkten
Woraus bestehen eigentlich Produkte, also Rechtecke?
Sie bestehen natürlich aus ihren Faktoren. So entsteht 12 beispielsweise aus 2 · 6, also einem Rechteck, was 2 Kästchen hoch und 6 Kästchen breit ist. Drehen wir unseren Kopf oder das Papier ist das Rechteck 2 Kästchen breit und 6 hoch, also entsteht 12 auch aus 6 · 2. 12 entsteht darüber hinaus noch aus 3 · 4 (ebenso 4 · 3) und aus 1 · 12 (ebenso 12 · 1). Alle diese möglichen Faktoren einer Zahl nennen wir ihre Teiler. Die Bestandteile von Zahlen sind also die Teiler.
In diesem Absatz erzähle ich mal kurz etwas Spannendes, was ihr für dieses Rätsel nicht braucht: In Teilern zu denken macht das Multiplizieren sehr leicht, denn man kann statt dessen einfach die Anzahl der Teiler addieren. Wenn euch das interessiert, schaut euch mal den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie an oder schnuppert in mein Rätsel zwei Teiler hinein. Eines der größten ungelösten Rätsel in der Mathematik, die Riemann Vermutung, geht im Prinzip um die Frage, ob das auch für krumme Zahlen funktioniert (wahrscheinlich schon). Teiler (genauer: Primfaktoren) scheinen mitten im Herzen der Mathematik zu liegen. Und hier im Rätsel ist es eure Aufgabe, genau so eine Verbindung von Multiplikation zu Addition herzustellen! (Wenn euch das alles zu einfach ist, seid ihr im Namen aller Mathematiker herzlich eingeladen ein Muster in den L-Funktionen zu finden, mit dem die Riemann Vermutung geknackt werden kann. Jede Hilfe ist willkommen.)
Die Teiler einer Zahl zu finden, ist gar nicht so leicht (darauf beruht übrigens unsere Internetsicherheit). Für dieses Rätsel könnt ihr aber einfach diesen Online-Rechner benutzten.
Rätsel Treppenzahlen
Das Finale liegt bei N 49° 4a.bcd' E 8° 4e.fgh'. Die kleinen Buchstaben sind dabei jeweils Ziffern von 0 bis 9.
Am Finalbehälter hängt ein Zahlenschloss, es öffnet mit der Kombination wxyz.
a = Anzahl der Treppendarstellungen (unten erklärt) von 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 11
b = Anzahl der Treppendarstellungen von 5 · 13
c = Anzahl der Treppendarstellungen von 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
d = Anzahl der Treppendarstellungen von 2 · 2 · 5 · 5
e = Anzahl der Treppendarstellungen von 2 · 3 · 23
f = Anzahl der Treppendarstellungen von 11 · 17
g = Anzahl der Treppendarstellungen von 41 · 43 · 43 · 43 · 43
h = Anzahl der Treppendarstellungen von 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
w = Anzahl der Treppendarstellungen des Finalbehälters
x = kleinster Summand aus allen Treppendarstellungen des Finalbehälters
yz = größter Summand aus allen Treppendarstellungen des Finalbehälters
Treppenzahlen
Treppenzahlen sind Zahlen, die als Summe von mindestens zwei aufeinanderfolgenden (natürlichen) Zahlen ausgedrückt werden können. So ist z.B. 12 eine Treppenzahl, weil 12 = 3+4+5 ist. Hingegen ist 4 keine Treppenzahl, da weder 1+2, 2+3, noch 1+2+3 die Summe 4 ergeben.
Anzahl der Treppendarstellungen
Eine Treppendarstellung ist eine Summe von mindestens zwei aufeinanderfolgenden Zahlen. Die Anzahl der Treppendarstellungen einer Zahl ist die Anzahl solcher Summen, die die Zahl ergeben. Die 4 hat z.B. 0 Treppendarstellungen. Die 12 hat eine. Die 33 hat 3: 33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 10 + 11 + 12 = 16 + 17. Wäre der Finalbehälter die 33, wäre also der Zahlencode 3317.
Wie finde ich die Anzahl der Treppendarstellungen?
Das ist natürlich das Rätsel. Versucht euch doch erstmal daran, es ist wirklich gut schaffbar. Wenn ihr nicht mehr weiter wisst, kann ich natürlich ein paar Tipps geben:
- Schaut euch die ersten 10 Zahlen an und prüft, welche davon Treppenzahlen sind. 1 und 2 sind keine, 3 ist eine, 4 ist keine, ...
- Schaut genau auf die Teiler dieser Zahlen. Was haben sie gemeinsam?
- Wie könntet ihr aus einer Treppenzahl eine Rechteckzahl (ein Produkt) bauen? Was sind die Seitenlängen (Teiler)? Und wie könnt ihr aus einer Rechteckzahl eine Treppenzahl bauen? Warum geht das bei manchen Zahlen (z.B. 4) nicht?
- Alternativ könnt ihr natürlich auch mit einer Tabellenkalkulation oder einem Programm alle möglichen Summen für jede Treppendarstellung ausprobieren. Denkt aber an die Treppenzahl an der Finaldose. Falls ihr nicht zweimal gehen wollt, solltet ihr also entweder das System erkennen (1), einen Zettel mit vorberechneten Werten mitnehmen (2), ein Programm dabei (3) oder es irgendwie remote verfügbar haben (4),z.B. per Kontakt zum Home Office.